3.3 Matrice de contraste
La version que nous avons étudiée jusqu’ici pour nos variables indicatrices, à savoir, une seule prend la valeur 1 lorsque toutes les autres prennent une valeur zéro, n’est qu’un cas particulier de ce qu’on appelle les contrastes appliqués à ces variables indicatrices. En réalité, nous pouvons leur donner bien d’autres valeurs (on parle aussi de poids). Cela permettra de considérer des contrastes différents, eux-mêmes représentatifs de situations différentes.
Afin de mieux comprendre les contrastes appliqués à nos modèles linéaires, les statisticiens ont inventé les matrices de contrastes. Ce sont des tableaux à deux entrées indiquant, pour chaque niveau de la variable indépendante qualitative, quelles sont les valeurs utilisées pour les différentes variables indicatrices présentées en colonne.
Dans le cas de notre version simplifiée du modèle mathématique, nous avons fait disparaître \(I_1\) en l’assimilant à la moyenne \(\mu\) pour obtenir \(\alpha\) (encodage par variable muette, ou dummy variable en anglais). Si la variable qualitative a quatre niveaux, nous avons donc le modèle suivant :
\[ y = \alpha + \beta_1 I_2 + \beta_2 I_3 + \beta_3 I_4 + \epsilon \]
Cela revient à considérer le premier niveau comme niveau de référence et à établir tous les contrastes par rapport à ce niveau de référence. C’est une situation qu’on rencontre fréquemment lorsque nos testons l’effet de différents médicaments ou de différents traitements par rapport à un contrôle (pas de traitement ou placebo). La matrice de contrastes correspondante dans un cas où on aurait trois traitements en plus du contrôle (donc, notre variable factor à quatre niveaux) s’obtient facilement dans R à l’aide de la fonction contr.treatment() :
# 2 3 4
# 1 0 0 0
# 2 1 0 0
# 3 0 1 0
# 4 0 0 1Les lignes de cette matrice sont numérotées de 1 à 4. Elles correspondent aux quatre niveaux de notre variable factor, avec le niveau 1 qui doit nécessairement correspondre à la situation de référence, donc au contrôle.
Les colonnes de cette matrice correspondent aux trois variables indicatrices \(I_2\), \(I_3\) et \(I_4\) de l’équation au-dessus. Nous voyons que pour un individu contrôle, de niveau 1, les trois coefficients multiplicateurs des \(I_i\) prennent la valeur 0. Nous sommes bien dans la situation de référence. En d’autres termes, le modèle de base est ajusté sur la moyenne des individus contrôles. Notre modèle se réduit à : \(y = \alpha + \epsilon\). Donc, seule la moyenne des individus contrôles, \(\alpha\) est considérée, en plus des résidus \(\epsilon\) bien sûr.
Pour le niveau deux, nous observons que le coefficient de \(I_2\) vaut 1 et les deux autres valent 0. Donc, cela revient à considérer un décalage constant \(\beta_1\) appliqué par rapport au modèle de référence matérialisé par \(\alpha\). En effet, notre équation se réduit dans ce cas à : \(y = \alpha + \beta_1 + \epsilon\).
Le même raisonnement peut être fait pour les niveaux 3 et 4, avec des décalages constants par rapport à la situation contrôle de respectivement \(\beta_2\) et \(\beta_3\).
En d’autres termes, les contrastes qui sont construits ici font tous référence au contrôle, et chaque médicament est explicitement comparé au contrôle (mais les médicaments ne sont pas comparés entre eux). Nous voyons donc que les variables indicatrices et la matrice de contrastes permettent de spécifier quels sont les contrastes pertinents et éliminent ceux qui ne le sont pas (nous n’utilisons donc pas systématiquement toutes les comparaisons deux à deux des différents niveaux7).
3.3.1 Contrastes orthogonaux
Les contrastes doivent être de préférence orthogonaux par rapport à l’ordonnée à l’origine, ce qui signifie que la somme de leurs pondérations doit être nulle pour tous les contrastes définis (donc, en colonnes). Bien que n’étant pas obligatoire, cela confère des propriétés intéressantes au modèle (l’explication et la démonstration sortent du cadre de ce cours). Or, les contrastes de type traitement ne sont pas orthogonaux puisque toutes les sommes par colonnes valent un.
3.3.2 Autres matrices de contrastes courantes
- Somme à zéro. Ces contrastes, toujours pour une variable à quatre niveaux, se définissent comme suit en utilisant la fonction
contr.sum()dans R :
# [,1] [,2] [,3]
# 1 1 0 0
# 2 0 1 0
# 3 0 0 1
# 4 -1 -1 -1Ici nous avons bien des contrastes orthogonaux puisque toutes les sommes par colonnes valent zéro. Dans le cas présent, aucun niveau n’est considéré comme référence, mais les n - 1 niveaux sont systématiquement contrastés avec le niveau n. Ainsi un contraste entre deux niveaux particuliers peut s’élaborer en indiquant une pondération de 1 pour le premier niveau à comparer, une pondération de -1 pour le second à comparer et une pondération de 0 pour tous les autres. Ici, nous avons donc une comparaison de tous par rapport au dernier niveau.
- Matrice de contrastes de Helmert : chaque niveau est comparé à la moyenne des niveaux précédents. La matrice de contrastes correspondant pour une variable à quatre niveaux s’obtient à l’aide de la fonction R
contr.helmert():
# [,1] [,2] [,3]
# 1 -1 -1 -1
# 2 1 -1 -1
# 3 0 2 -1
# 4 0 0 3Cette matrice est également orthogonale avec toutes les sommes par colonnes qui valent zéro. Ici, nous découvrons qu’il est possible de créer un contraste entre un niveau et la moyenne de plusieurs autres niveaux en mettant le poids du premier à m (le nombre de populations à comparer de l’autre côté du contraste), et les poids des autres populations tous à -1. Ainsi, la colonne 3 de la matrice de Helmert compare le niveau quatre avec une pondération 3 aux trois autres niveaux qui reçoivent tous une pondération -1.
- Matrice de contrastes polynomiaux : adapté aux facteurs ordonnés (ordered dans R) pour lesquels on s’attend à une certaine évolution du modèle du niveau le plus petit vers le plus grand.
Donc ici aussi une comparaison deux à deux de tous les niveaux n’est pas souhaitable, mais une progression d’un effet qui se propage de manière graduelle du plus petit niveau au plus grand. A priori cela parait difficile à matérialiser dans une matrice de contraste… et pourtant, c’est parfaitement possible ! Il s’agit de contrastes polynomiaux où nous ajustons de polynômes de degré croissant comme pondération des différents contrastes étudiés. La fonction contr.poly() permet d’obtenir ce type de contraste dans R. Pour une variable ordonnée à quatre niveaux, cela donne :
# .L .Q .C
# [1,] -0.6708204 0.5 -0.2236068
# [2,] -0.2236068 -0.5 0.6708204
# [3,] 0.2236068 -0.5 -0.6708204
# [4,] 0.6708204 0.5 0.2236068Ici, les pondérations sont plus difficiles à expliquer rien qu’en observant la matrice de contrastes. De plus, les colonnes portent des noms particuliers .L pour un contraste linéaire (polynôme d’ordre 1), .Q pour un contraste quadratique (polynôme d’ordre 2), et .C pour un contraste conique (ou polynôme d’ordre 3). Les pondérations appliquées se comprennent mieux lorsqu’on augmente le nombre de niveaux et que l’on représente graphiquement la valeur des pondérations choisies. Par exemple, pour une variable facteur ordonnée à dix niveaux, nous représentons graphiquement les 3 premiers contrastes (linéaire, quadratique et conique) comme suit :
Sur le graphique, l’axe X nommé index correspond en réalité à la succession des dix niveaux de la variable présentés dans l’ordre du plus petit au plus grand. Nous voyons maintenant clairement comment les contrastes sont construits ici. Pour le contraste linéaire, on contraste les petits niveaux avec les grands, et ce, de manière proportionnelle par rapport à la progression d’un niveau à l’autre (polynôme d’ordre un = droite). Pour le contraste quadratique, on place “dans le même sac” les petits et grands niveaux qui sont contrastés avec les niveaux moyens (nous avons une parabole ou polynôme d’ordre deux). Pour le troisième graphique, la situation se complexifie encore un peu plus avec un polynôme d’ordre trois, et ainsi de suite pour des polynômes d’ordres croissants jusqu’à remplir complètement la matrice de contrastes.
À vous de jouer !
R utilise par défaut des contrastes de traitement pour les facteurs non ordonnés et des contrastes polynomiaux pour des facteurs ordonnés. Ces valeurs par défaut sont stockées dans l’option "contrasts" que l’on peut lire à l’aide de getOption().
# unordered ordered
# "contr.treatment" "contr.poly"Attention : le fait d’utiliser une matrice de contraste qui restreint ceux utilisés dans le modèle est indépendant des tests post hoc de comparaisons multiples, qui restent utilisables par après. Les comparaisons deux à deux des médicaments restent donc accessibles, mais ils ne sont pas mis en évidence dans le modèle lui-même.↩︎