7.4 Distribution binomiale

Partons d’un exemple pratique pour découvrir cette distribution. La mucoviscidose est, dans la population européenne, la plus fréquente des maladies génétiques héréditaires. Elle se caractérise par un mucus (voies respiratoires) anormalement épais qui est à l’origine de diverses complications. L’altération d’une protéine CFTR est à l’origine de cette maladie. Comme le gène qui code pour cette protéine est récessif, il faut que le deux allèles soient porteurs simultanément de la mutation pour que la maladie apparaisse. Parmi des familles de six enfants dont le père et la mère normaux sont tous deux porteurs hétérozygotes du gène altéré, quelle est la probabilité d’obtenir 0, 1, 2, …, 6 enfants atteints de mucoviscidose ?

7.4.1 Epreuve de Bernoulli

La distribution binomiale est un loi de distribution discrète qui répond à ce genre de question. Ses conditions d’applications sont :

• résultats binaire (deux événements possibles uniquement ; l’un sera nommé “succès” et l’autre “échec” par convention),
• essais indépendants (les probabilités ne changement pas d’un essai à l’autre),
• n le nombre d’essais totaux est fixé à l’avance,
• probabilité du “succès” p constante (probabilité de l’“échec” = 1 - p).

Les conditions particulières de cette situation sont appelées épreuve de Bernoulli. Mathématiquement, nous l’écrirons comme suit. Soit une variable aléatoire \(Y\) qui comptabilise le nombre de succès, la probabilité d’obtenir \(j\) succès parmi \(n\) essais est :

\[P(Y=j)= C^j_n \times p^j \times (1-p)^{n-j}\]

Le coefficient binomial \(C^j_n\) vaut³⁴ : \[C^j_n = \frac{n!}{j!(n-j)!}\]

\(C^j_n\) représente le nombre de combinaisons possibles pour obtenir \(j\) succès parmi \(n\) essais réalisés dans un ordre quelconque. On pourra écrire aussi :

\[Y \sim B(n,p)\]

Notre exemple rentre parfaitement dans le cadre de l’épreuve de Bernoulli avec n = 6 et p, la probabilité du succès, c’est-à-dire, d’avoir un enfant qui ne développe pas la maladie de 3/4 : \(Y \sim B(6, 0.75)\).

7.4.2 Calculs et graphiques

Les calculs sur base d’une distribution binomiale sont assez similaires à ceux de la distribution uniforme dans R, en remplaçant unif par binom dans le nom des fonction. Voici la liste des snippets à votre disposition dans la SciViews Box pour vous aider (menu (d)istributions: binomial à partir de .ib) :

Puisqu’il s’agit d’une distribution discrète, un petit nombre d’événements possibles existent. Le snippet .ibtable retourne l’ensemble des valeurs possibles pour \(j\) allant de 1 à \(n\) en une seule étape. Les autres snippets devraient vous être familiers.

(.table <- data.frame(success = 0:6,
  probability = dbinom(0:6, size = 6, prob = 0.75)))

#   success  probability
# 1       0 0.0002441406
# 2       1 0.0043945312
# 3       2 0.0329589844
# 4       3 0.1318359375
# 5       4 0.2966308594
# 6       5 0.3559570312
# 7       6 0.1779785156

La représentation graphique donne la Fig. 7.6.

Figure 7.6: Probabilité d’avoir j enfants sains parmi 6 dans des familles dont les deux parents sont porteurs hétérozygotes du gène de la mucoviscidose.

La situation la plus probable est donc d’avoir 5 enfants sains sur 6. Nous pouvons aussi observer que, lorsque \(p\) s’éloigne de 0,5, les probabilités à l’extrême opposée tendent assez rapidement vers zéro (ici, la probabilité de n’avoir qu’un seul, ou aucun enfant sain). La distribution binomiale trouve de très nombreuses applications en biologie, en écologie, en génétique et dans d’autres disciplines. Elle permet même de représenter vos chances de réussite à l’examen de science des données biologiques ! Voici, pour finir, l’allure d’une distribution binomiale pour laquelle la probabilité du succès est égale à la probabilité d’échec (0,5). Cette distribution est symétrique.

Figure 7.7: Probabilité d’avoir des garçons parmi une fratrie de 6 enfants (si le sexe ratio de 1:1).

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34. Le factoriel d’un nombre \(n\), noté \(n!\) est \(1 \times 2 \times 3 \times ... \times n\), avec \(0! = 1\).↩